从一维到三维：静电除尘器颗粒沉降数学模型的再升级

基于华北电力大学等单位三维颗粒沉降模型的ESP效率重估与工程启示

关键词
electrostatic precipitators (ESP); three-dimensional mathematical model; precipitation efficiency; dust concentration distribution; industrial flue gas treatment; PM2.5控制

在燃煤发电仍占主导的中国电力结构中，静电除尘器（Electrostatic Precipitator, ESP）依然是主力的工业除尘装备。长期以来，工程设计和选型计算几乎都建立在经典的Deutsch 一维效率公式之上。然而，实际运行中我们经常发现：按一维模型折算出来的除尘效率“偏乐观”，尤其是在细颗粒物（PM10 乃至 PM2.5）控制方面存在明显偏差。本文解读的这篇论文《Solution and Analysis on Three-dimensional Mathematical Model of Particles Sedimentation in ESP》，正是围绕这一行业痛点，从三维数学模型出发，对静电除尘器颗粒沉降过程进行了更精细的刻画。

该研究由华北电力大学环境科学与工程学院（保定）、南京环保研究院以及华北电力大学数学与物理学院联合完成，作者为胡满银、刘炳伟、田鹤忠、王丽倩、陈伟增。他们在前人关于气溶胶力学和ESP理论研究[1]的基础上，将粒子在电场内的迁移、气流输运和重力沉降统一到一个三维偏微分方程框架之中，并给出了相应的解析解与除尘效率表达式，为ESP 的设计、制造、运行优化和效率预测提供了更加可靠的理论依据。

从物理机理上看，ESP 内带电粉尘颗粒的运动本来就是一个三维过程。气流方向（x 方向）上，粉尘浓度沿气流流向逐渐降低；电场横向（y 方向，从放电极指向集尘极）上，粉尘从高浓度区向低浓度区迁移；竖直方向（z 方向，重力方向）上，由于重力作用和流场分布，粉尘浓度往往从上至下逐渐增加。Cooperman 早期就指出，电除尘器内存在沿气流、横向和竖向的三重浓度梯度，这些浓度梯度叠加上湍流扩散的“反向”作用（从高浓度向低浓度输运），使得真实的颗粒沉降过程远比一维模型所描述的理想情况复杂得多。

传统Deutsch 公式只考虑了粉尘浓度沿气流方向的指数衰减，将ESP 看作“平均浓度”的一维反应器，不考虑横向电迁移速度分布及竖向浓度分层。这样做的直接后果，是忽略了湍流和浓度梯度引起的再夹带和再分布效应，因此往往高估实际除尘效率。在大型燃煤电站机组和超低排放改造项目中，这种偏差会直接影响ESP 的有效电场长度、比集尘面积和电场级数的选取，甚至会误导上游锅炉燃烧调整及下游湿法脱硫（WFGD）系统的粉尘负荷设计。

为此，论文作者首先在一组简化假设下搭建了三维数学模型：假定粉尘颗粒为球形，同一粒径颗粒荷电量相同；忽略颗粒间相互作用；在颗粒局部附近，电场强度与离子浓度均匀；气流在主流方向上近似均匀；除尘区内不存在新的尘源或尘耗；颗粒一旦抵达集尘极即认为被有效捕获。在这样的前提下，在电场进口中心建立直角坐标系，以x 为气流方向、y 指向集尘极、z 为重力方向，将局部质量守恒写成一个三维稳态对流方程：粒子在x 方向随气流前进，在y 方向以迁移速度向极板运动，在z 方向以沉降速度上下分布。

在这个方程基础上，作者分层给出了三种情形的解析解。第一种是传统一维模型，即认为截面内浓度均匀，忽略y、z 方向的浓度变化，只保留x 向变化，此时可直接推导出与Deutsch 公式等价的指数形式效率公式，将总除尘效率表示为η=1−exp(−ωA/Q)，其中ω为颗粒迁移速度，A为有效集尘面积，Q为烟气体积流量。第二种是二维模型，仍忽略重力方向z 的浓度分布，只考虑x−y 平面上的对流—迁移，此时浓度解中引入了横向分布系数，效率公式相较一维Deutsch 公式多了一个经验修正因子1.718，反映了横向浓度非均匀性的影响。这一二维修正公式在工程界已经有一定应用，但在高要求的工业烟气治理中依然不够精细。

第三种情况是完整的三维模型。作者假设浓度分布可以写成沿x、y、z独立指数形式的乘积，即 C(x,y,z)=C0·exp(k1x+k2y+k3z)，其中k1、k2、k3分别对应三个方向的浓度分布系数。将该形式代入基本方程，并结合边界条件，可求得各方向系数之间的约束关系。进一步在出口截面上对y 和z 进行面积平均，得到平均出口浓度表达式，并由此导出总除尘效率公式。通过推导，三维效率公式可被整合为 η=1−Kh·exp(−ωA/Q) 的形式，其中Kh 是一个综合了z 方向浓度分布及重力效应的修正系数。当忽略竖向浓度变化时，k3→0，Kh 恰好退化为1.718，这说明常用的二维修正公式实际上只是三维模型的一个特例。

值得注意的是，三维模型中的关键难点集中在k3 的确定上。k3 反映了竖直方向的浓度梯度，与颗粒粒径、电场分布、湍流强度等多种因素相关，纯理论推导颇为困难。因此，作者采用了实验反演的方法：在一套专门设计的小型ESP 试验装置上，测量不同粒径段粉尘的分级除尘效率，并结合三维公式反推k3 和Kh 的取值区间。试验装置的主要尺寸为：极板高度0.2 m、极板长度0.55 m、电极间距0.05 m，工作电压30 kV。根据电场强度和气体物性，作者给出了颗粒迁移速度随粒径变化的表达式（ω≈1.18×10^4·dp，单位换算后为m/s），然后在气速约1.0 m/s 条件下，测得2–10 μm 粉尘的分级除尘效率，并与Deutsch 模型和二维模型的预测结果进行了对比。

实验结果表明：当颗粒粒径大于10 μm 时，Deutsch 公式、二维模型和三维模型计算的效率与实测值吻合良好，说明传统理论在粗粒段仍然适用。而在粒径小于10 μm 的细粒段，一维Deutsch 公式明显偏高，二维模型有所改善但仍存在差距。通过将实测效率代入三维模型的解析式，研究者反算得出了不同粒径对应的k3 和Kh，发现Kh 与粒径、迁移速度存在对应关系，并且对于工程上关注的2–5 μm 粉尘，反演得到的Kh 值主要集中在2–3 之间。

为了简化工程应用，作者提出可以将Kh 视为常数来进行计算，并选取Kh=2.279、2.4549、3.0569 和5.9277 等值，对应计算得到一系列分级除尘效率，分别与二维公式、Deutsch 公式及实测效率进行对比。对比数据显示，当Kh 取2–3 之间时，三维效率公式给出的各粒径段效率与实验值最为接近，既纠正了一维公式高估的趋势，又比二维模型更贴近真实ESP 内部的颗粒分布特性。尤其是在2–5 μm 这一对燃煤电厂超低排放、工业粉尘深度治理影响极大的粒径区间，Kh≈2–3 的三维模型可以大幅提高效率预测的可信度。

从行业应用角度看，引入三维数学模型并不意味着日常设计计算必须变得极其复杂，而是提醒我们：在进行ESP 选型和工业烟气治理方案论证时，应对传统Deutsch 公式的适用范围有更清醒的认识。对于中高粉尘负荷、气流分布较为理想、以控制粗颗粒为主的工况，一维或二维模型通常已经足够；但在超低排放改造、细颗粒深度控制、复杂烟道布置或高湍流强度工况下，适当采用三维修正思路，引入类似Kh 这样的浓度分布系数进行核算，将更有利于降低除尘系统的设计不确定性。

更进一步，这类三维颗粒沉降模型为数字化ESP、CFD+荷电迁移耦合仿真等行业热点提供了理论支撑。未来可结合在线监测数据（粉尘粒径谱、烟气速度场、电场电压电流特性等），对Kh 和k3 等参数进行动态标定，实现静电除尘器在全工况下的“模型驱动型”精细化运行与优化控制。对于正在推进的工业烟气治理升级、协同控制PM2.5 与NOx、SO2 的综合治理项目而言，这种从一维到三维的模型演化，将成为设计院、设备厂家和电厂技术人员需要重点关注的方向之一。

参考文献
[1] 张国权. 气溶胶力学[M]. 北京: 中国环境科学出版社, 1987: 244–258.
[2] Kamke E. 一阶偏微分方程手册[M]. 北京: 科学出版社, 1983.
[3] John F. 偏微分方程[M]. 北京: 科学出版社, 1986.

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