从Deutsch到Matts-Öhnfeldt：静电除尘器效率公式的再认识

Alstom 环境控制系统团队基于Weibull分布与粒径分布的重新推导

关键词
Electrostatic precipitator, ESP, migration velocity, Matts-Öhnfeldt, Weibull分布, 工业烟气治理

在工业烟气治理领域，Deutsch公式几乎是所有静电除尘器（ESP）设计和效率评估的出发点。它将收尘效率η与粉尘迁移速度w及比集尘面积A/Q联系起来，用一个简洁的指数关系描述ESP性能。然而，Deutsch公式隐含的前提是假定所有颗粒“长得一样大”。在实际燃煤机组、燃油锅炉、水泥窑和钢铁烧结机的排放颗粒中，粒径分布往往宽且多峰，这使得传统Deutsch公式在工程应用上的局限越来越明显。

针对这一问题，FLÄKT/Alstom体系在上世纪60年代提出了著名的Matts-Öhnfeldt修正Deutsch公式，并在全球大量工程中得到验证和应用。本文解读的论文出自Alstom Power Sweden AB 环境控制系统部门，作者为 Andreas Bäck，其在ICESP XIII（2013，印度班加罗尔）上系统讨论了Matts-Öhnfeldt公式的数学本质、与颗粒粒径分布的内在联系，以及在特殊烟尘工况下k>1这一“反直觉现象”的物理意义。

文章围绕静电除尘、迁移速度和Matts-Öhnfeldt方程三个关键词，对这一经典经验公式给出了三个重要观察：

第一，Matts-Öhnfeldt公式与Weibull分布完全同构；

第二，在粒径与迁移速度近似成正比的前提下，确实存在一种特定的粒径分布，其积分结果“恰好”给出Matts-Öhnfeldt效率表达式；

第三，从理论和实测两个层面，都可以找到k大于1的工况，而不仅仅是教科书中常见的k≤1情形。

在分析方法上，作者首先从差分思路重新推导Deutsch公式。设想将含尘烟气分成沿气流方向移动的无数“薄片”，每个薄片内部完全湍流混合、相互之间不交换颗粒，在单位时间内颗粒被捕集的概率为常数f。这样，颗粒浓度C(t)随时间的变化可以写成一阶常微分方程：dC/dt = −f C。其解为指数衰减形式C(t) = C_in·exp(−f t)。将时间t换算为ESP容积V和烟气流量Q的比值，并用迁移速度w和比集尘面积A/Q表达f，就自然得到标准的Deutsch公式。这一部分更多是对教科书推导的简化重述，目的是为后续的“改造”做铺垫。

真正的创新从允许收集概率随时间变化开始。作者指出，由于颗粒粒径分布宽广，迁移速度w并不是真正意义上的常数，颗粒被捕集的难易程度会随着ESP内残余颗粒的“性质”而变化。因此，他采用一个简化但颇具启发性的假设：将常数f替换为时间函数f(t)=b·t^α，通过调节α来模拟收集速率随处理时间的增强或衰减。在这一假设下，控制方程变为dC/dt = −f(t) C，其解为C(t) = C_in·exp[−(f_k·t)^k]，其中k = α+1，f_k为经过幂次变换后的“等效系数”。

当这一解用处理时间t或A/Q重新表述时，正是业内极为熟悉的Matts-Öhnfeldt公式：η = 1 − exp[−(w_k·A/Q)^k]。这里w_k被称为“修正迁移速度”，维度上仍为m/s，但不再等同于单一粒径颗粒的真实迁移速度，而是集成了粒径分布、电场、气流组织等复杂因素后的综合表征。传统燃煤机组飞灰工况中，经验上k≈0.5往往能取得不错拟合效果；粒径分布极窄且接近单分散时，k会趋近于1，公式退化为Deutsch形式，这一点与工程经验高度吻合。

一个颇具行业启发的视角，是作者指出Matts-Öhnfeldt公式在数学形式上与Weibull分布完全等价。Weibull分布在可靠性工程、疲劳寿命分析、药物溶出、风速统计、雨强分布、腐蚀及电介质击穿等众多领域被广泛应用，其通式为F(x) = 1 − exp[−((x − x_u)/x_0)^m]。当x_u=0时即为双参数Weibull分布。若将“时间”或“比集尘面积”视为x，将“被捕集的颗粒质量分数”视为F(x)，则Matts-Öhnfeldt公式恰好是以m=k的Weibull分布。换言之，从数学统计角度看，ESP收集过程可以视为一个“寿命过程”：颗粒在ESP内“生存”一段时间后被捕集，k表征“失效率”随时间变化的趋势。这一类比不仅提高了公式的理论说服力，也为利用成熟的Weibull分析方法评估和优化静电除尘性能打开了大门。

在工程实践中，一个常见问题是：给定某种烟尘的粒径分布，利用Deutsch公式对各粒径段积分，可以得到ESP总效率；反过来，是否存在某种粒径分布，使得利用Deutsch公式分级积分的结果恰好就是Matts-Öhnfeldt公式？作者在典型的场致荷电条件下进行了反推。场致荷电区内，颗粒所带电荷与其表面积正比，结合Stokes阻力，可得到迁移速度w与颗粒直径D近似成正比。在此近似下，总收集效率可写为对粒径分布γ(D)的积分，形式上是一个拉普拉斯变换。

作者利用标准拉普拉斯变换表，在k=0.5这一行业常用工况下，找到了一组解析匹配：若粒径分布γ(D) = √(a^2/(4πD^3))·exp[−a^2/(4D)]，则通过Deutsch公式对全粒径积分，得到的总效率正好对应Matts-Öhnfeldt公式中k=0.5的一般形式。进一步将该特殊分布与Matts与Öhnfeldt当年假定的对数正态分布进行对比，数值算例显示二者在工程关注粒径范围内形状相当接近。这一结果的意义在于：虽然实际烟尘粒径分布多为对数正态或多峰分布，但至少在数学上，确实存在一类“合理外形”的分布，使Matts-Öhnfeldt公式不再只是经验拟合，而可视为某一类粒径谱的“等效解析表达式”。

更具工程争议性、也更贴近当前行业实践的，则是关于k>1的讨论。传统教科书和很多工程软件隐含假设k≤1，认为随着ESP长度增加，因“剩下的都是难收颗粒”，边际效率递减是常态。作者从理论和实验两方面指出：在某些特定工况，k>1不仅可能，而且能够更好地解释实测数据。典型情景是亚微米粒径主导、粒径分布极窄、粉尘电阻率适中且不存在明显反电晕的烟气，例如某些重油或Orimulsion燃烧烟气、部分柴油机尾气等。在这些工况下，所有颗粒的迁移速度差别不大，几乎不存在“易收先走，难收滞留”的明显富集效应；与此同时，影响ESP效率的关键因素却会沿气流方向向利好方向演变，例如：

——气流在ESP内逐渐变得更加均匀，旁路流、死角流和再飞扬几率降低；

——高比表面积的细微粒群体在入口段强烈抑制电晕电流（空间电荷效应），随着部分粉尘被捕集，后段电晕逐步恢复，等效迁移速度在后段反而更高；

——亚微米颗粒以扩散荷电为主，其饱和荷电时间远长于场致荷电颗粒，在ESP全长范围内电荷仍在缓慢积累，后段颗粒电荷水平更高。

这些效应叠加的宏观表现，就是“单位长度ESP”的平均效率随长度增加而提高，对应到Matts-Öhnfeldt公式，即k大于1。作者给出了一个具体案例：在瑞典Karlshamn Kraft（KKAB）电厂，一台12 MWth的重油辅助锅炉后布置了一台采用ERDEC横流结构的ESP。该ESP由两电场串联，每个电场由多组电晕极和前后集尘极模块组成，电场线与气流方向基本平行。试验日在低粉尘负荷（入口约15 mg/Nm³）但明显电晕抑制的工况下，分别测得两电场全开和切除首场时的排放浓度：前者约1.7 mg/Nm³，后者上升到约7.0 mg/Nm³。在比集尘面积分别约为24.8 m²/(m³/s)和12.4 m²/(m³/s)的两点上，用Matts-Öhnfeldt公式进行拟合，得到修正迁移速度w_k≈6.64 cm/s，k≈1.56。若强行假定k=1或k=0.5，则必须大幅调整w_k，且在减半比集尘面积的条件下无法同时匹配两种工况的测量数据。只有k>1时，理论曲线才能通过这两个实测点。

对行业而言，这一发现具有两个现实指向：其一，在油烟、燃气锅炉极细颗粒等场景下，传统“k固定为0.5或不超过1”的经验需要被审慎修正，ESP性能评估与扩容核算时，采用可调k值拟合实测数据更为稳妥；其二，k可以看作“过程综合复杂性的形状参数”，其大于1并不意味着公式失效，而代表着有利于长程捕集的物理机制占主导，对于新结构电极、横流ESP和多场协同控制技术的评价与优化，具有重要参考价值。

作者在文末强调，即便数值模拟能力极大提升，完整准确地求解真实三维电场、气流与粒子群行为仍然复杂且昂贵，来自大型装置运行数据和中试试验的统计归纳，仍旧是静电除尘工程设计与性能预测的基石。在这一背景下，将Matts-Öhnfeldt公式视为一个形式上等价于Weibull分布的“高层统计模型”，并在不同工况下通过w_k与k的物理解读，仍将长期在ESP工程中发挥作用。

参考文献
[1] Deutsch W. Movement and charge of electricity carriers in cylindrical capacities (in German). Annalen der Physik, 1922, 68: 335–344.
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[6] Bäck A. Some observations regarding the Matts-Öhnfeldt equation. Proceedings of ICESP XIII, 2013, Bangalore, India.

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